🔬 Wasserstoffatom - Formaler Algorithmus

Mathematische Formalisierung des Kohärenzfeld-Modells für das Wasserstoffatom
(1,+1) Kern · (1,−1) Hülle · Φ-Gleichgewicht · Klasse B Photon-Austausch

1. Grundlegende Definitionen

1.1 Patch-Konfiguration

$$\text{Kern: } (n_K, s_K) = (1, +1), \quad \text{Hülle: } (n_H, s_H) = (1, -1)$$

Interpretation: Beide sind Patches mit Windungszahl $n=1$, aber entgegengesetzter Orientierung $s$. Dies ist eine Klasse A Konfiguration (Repulsion durch gleiche Windung).

1.2 Intervalllänge

$$\lambda = \frac{2\pi}{\theta_\text{eq}} \approx 5.4$$

Die Intervalllänge $\lambda$ ist durch die Breather-Gleichgewichtsphase $\theta_\text{eq}$ bestimmt. Für beide Patches identisch.

2. Φ-Gleichgewicht und Orbitalradius

2.1 Φ-Balance-Bedingung

Der stabile Orbit entsteht durch Gleichgewicht zwischen:

$$F_\text{gesamt}(r) = F_\text{A}(r) + F_\Phi(r) \stackrel{!}{=} 0$$

Im Gleichgewicht bei Orbitradius $r = r_\text{orbit}$:

$$\boxed{r_\text{orbit} = \lambda \cdot \left(1 + \frac{\phi_\text{cpl}}{2}\right) \approx 4.5 \text{ bis } 6.0}$$

mit der Φ-Kopplungsstärke $\phi_\text{cpl} \in [0.1, 2.0]$.

2.2 Φ-Gleichgewichts-Metrik

$$\Phi_\text{eq} = 1 - \frac{|r - r_\text{orbit}|}{r_\text{orbit}}$$

Dies misst die Abweichung vom idealen Orbit. Bei perfektem Orbit: $\Phi_\text{eq} = 1$.

3. Zeitentwicklung

3.1 Orbitale Bewegung

$$\theta(t) = \omega_0 \cdot t \cdot (1 + 0.6 \cdot \varepsilon)$$

mit:

$$\vec{r}_H(t) = \begin{pmatrix} r_\text{eff} \cos\theta(t) \\ r_\text{eff} \cdot 0.28 \sin(1.3\theta(t) + 0.4) \\ r_\text{eff} \cdot 0.72 \sin\theta(t) \end{pmatrix}$$

mit $r_\text{eff} = r_\text{orbit} \cdot (1 + 0.6\varepsilon)$.

Hinweis: Die y-Komponente mit Faktor 0.28 und Frequenzmodulation 1.3 erzeugt die elliptische Präzession.

3.2 Kern-Pulsation

$$R_K(t) = 1 + 0.08 \sin(2.4 t) + 0.15 \varepsilon \sin(8 t)$$

Der Kern pulsiert mit Grundfrequenz 2.4 und im angeregten Zustand zusätzlich mit Frequenz 8.

4. Photon-Austausch (Klasse B)

4.1 Photon-Emissionsrate

$$P_\text{emit} = \phi_\text{rate} \in [0, 1]$$

Die Photon-Rate $\phi_\text{rate}$ bestimmt die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit.

$$\Delta t_\text{nächste} = \frac{0.8}{\phi_\text{rate}} + \mathcal{U}(0, 0.5)$$

mit $\mathcal{U}(a,b)$ als Gleichverteilung zwischen $a$ und $b$.

4.2 Photon-Trajektorie

Ein Photon startet bei $\vec{r}_\text{start}$ (Kern oder Hülle) und endet bei $\vec{r}_\text{ziel}$ (Hülle oder Kern):

$$\vec{r}_\gamma(f) = (1-f)^2 \vec{r}_\text{start} + 2(1-f)f \vec{r}_\text{mid} + f^2 \vec{r}_\text{ziel}, \quad f \in [0,1]$$

mit dem Mittelpunkt:

$$\vec{r}_\text{mid} = \frac{\vec{r}_\text{start} + \vec{r}_\text{ziel}}{2} + \begin{pmatrix} 0.5 \cos(2t + i) \\ 1.5 \sin(3t + i) \cdot r_\text{orbit}/4.5 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Interpretation: Die quadratische Bézier-Kurve mit zeitabhängigem Mittelpunkt simuliert den gekrümmten Photon-Pfad durch das Φ-Feld.

4.3 Photon-Opacity

$$\alpha_\gamma(f) = 0.9 \sin(\pi f)$$

Das Photon erscheint und verschwindet sanft (sinus-förmig).

5. Anregungs- und Zerfallsprozess

5.1 Anregung (Absorption)

Bei externer Anregung ($\varepsilon: 0 \to 1$):

  1. Orbitradius vergrößert sich: $r_\text{eff} = r_\text{orbit} \cdot 1.6$
  2. Orbitalfrequenz erhöht sich: $\omega = \omega_0 \cdot 1.6$
  3. Photonen-Burst wird emittiert (4 Photonen von Hülle zu Kern)
$$t_\text{Anregung} \approx 1.8 \text{ Zeiteinheiten}$$

5.2 Zerfall (Emission)

Nach der Anregung zerfällt das System zurück ($\varepsilon: 1 \to 0$):

  1. Orbitradius normalisiert sich
  2. 3 Photonen werden emittiert (Kern zu Hülle)
  3. System kehrt zum Grundzustand zurück

6. Elektronen-Cloud (Wahrscheinlichkeitsdichte)

6.1 1s-Orbital Verteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons folgt dem Wasserstoff-1s-Orbital:

$$\rho(r) \propto e^{-2r/a_0}, \quad a_0 = r_\text{orbit}$$

In der Simulation durch $N \approx 1200$ Partikel approximiert:

$$r_i = r_\text{orbit} \cdot (0.3 + \mathcal{U}(0, 1.4)) \cdot \sqrt{-\ln(\mathcal{U}(0,1))}$$

mit sphärischen Koordinaten:

$$\theta_i = \arccos(2\mathcal{U}(0,1) - 1), \quad \phi_i = \mathcal{U}(0, 2\pi)$$

6.2 Cloud-Animation

$$\vec{r}_{\text{cloud},i}(t) = \vec{r}_{\text{cloud},i}(0) + \sum_{k=0}^{t/\Delta t} \delta\vec{r}_k, \quad \delta\vec{r} \sim \mathcal{N}(0, 0.02)$$

Jedes Cloud-Partikel führt eine Brownsche Bewegung mit Varianz 0.02 aus.

7. Energie-Berechnung

7.1 Bindungsenergie

$$E_\text{bind} = -\frac{C}{r_\text{instant}} \cdot 4.5, \quad C \approx 1$$

Die Energie ist umgekehrt proportional zum momentanen Elektron-Kern-Abstand $r_\text{instant} = |\vec{r}_H|$.

Im Grundzustand ($r \approx 4.5$):

$$E_0 \approx -1.0$$

Im angeregten Zustand ($r \approx 7.2$):

$$E_1 \approx -0.625$$

Energiedifferenz: $\Delta E = E_1 - E_0 \approx 0.375$ (wird als Photonen emittiert).

8. Zusammenfassung der Parameter

Parameter Symbol Wertebereich Standard Bedeutung
Orbitradius $r_\text{orbit}$ $[2, 10]$ $4.5$ Grundzustands-Radius
Φ-Kopplung $\phi_\text{cpl}$ $[0.1, 2.0]$ $0.8$ Φ-Feld Kopplungsstärke
Photon-Rate $\phi_\text{rate}$ $[0, 1]$ $0.35$ Emissionswahrscheinlichkeit
Φ-Sichtbarkeit $\phi_\text{vis}$ $[0, 1]$ $0.5$ Visualisierungs-Parameter
Orbitalfrequenz $\omega_0$ fest $0.38$ Grundrotationsrate

9. Algorithmus-Übersicht (Pseudocode)

Initialisierung:
  r_orbit = 4.5, φ_cpl = 0.8, φ_rate = 0.35
  ε = 0 (Grundzustand)
  θ = 0 (Orbitalwinkel)

Hauptschleife (pro Zeitschritt Δt):
  1. Winkel aktualisieren:
     θ ← θ + ω₀·Δt·(1 + 0.6·ε)
  
  2. Elektronenposition berechnen:
     r_eff = r_orbit · (1 + 0.6·ε)
     x = r_eff · cos(θ)
     y = r_eff · 0.28 · sin(1.3θ + 0.4)
     z = r_eff · 0.72 · sin(θ)
  
  3. Kern-Pulsation:
     R_K = 1 + 0.08·sin(2.4t) + 0.15·ε·sin(8t)
  
  4. Photon-Spawning:
     wenn Zufall() < φ_rate:
       erstelle Photon (Kern → Hülle oder umgekehrt)
  
  5. Photon-Update:
     für jedes Photon:
       f ← f + v·Δt
       wenn f ≥ 1: entferne Photon
       sonst: Position entlang Bézier-Kurve
  
  6. Energie berechnen:
     E = -4.5 / |r_Elektron|
  
  7. UI aktualisieren:
     Φ_eq = 1 - |r - r_orbit| / r_orbit
     Anzeige: r_Kern, r_Hülle, Φ_eq, Photonenzahl, E
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