💬 Dialog

🤖 Claude

Gut. Streng bleiben. Nur was aus dem Modell kommt.

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Was ρ_repro physikalisch bedeutet

ρ_repro ist die Reproduzierbarkeitsschwelle – unterhalb dieser Dichte kann ein Patch keinen neuen Patch erzeugen bevor er selbst zerfällt.

Das ist eine Wettlaufbedingung:

$$R_\text{Reproduktion}(\rho) \geq \Gamma_\text{Zerfall}$$RReproduktion​(ρ)≥ΓZerfall​

Beide Raten müssen wir aus dem Modell herleiten – kein einziger externer Parameter.

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Schritt 1 – Zerfallsrate

Aus dem Modell bekannt:

$$\Gamma_\text{Zerfall} = \gamma = 0.035$$ΓZerfall​=γ=0.035

Die Dämpfungsrate des Breathers. Bereits hergeleitet. ✓

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Schritt 2 – Reproduktionsrate

Ein Patch erzeugt einen neuen Patch indem er Energie aus dem Gradientenfeld in seine Umgebung abstrahlt.

Energie im Gradientenfeld um einen Patch mit Kohärenzlänge ξ(ρ):

$$\xi(\rho) = \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}}$$ξ(ρ)=λ⋅ρkrit​ρ​​

Der Φ-Gradient am Patchrand:

$$|\nabla\Phi| \approx \frac{A_0}{\lambda} \cdot \sqrt{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}}$$∣∇Φ∣≈λA0​​⋅ρkrit​ρ​​

Gradientenenergie im Kohärenzvolumen ξ³:

$$E_\text{grad}(\rho) = |\nabla\Phi|^2 \cdot \xi^3 = \frac{A_0^2}{\lambda^2} \cdot \frac{\rho}{\rho_\text{krit}} \cdot \lambda^3 \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\right)^{3/2}$$Egrad​(ρ)=∣∇Φ∣2⋅ξ3=λ2A02​​⋅ρkrit​ρ​⋅λ3⋅(ρkrit​ρ​)3/2 $$= A_0^2 \cdot \lambda \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\right)^{5/2}$$=A02​⋅λ⋅(ρkrit​ρ​)5/2

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Schritt 3 – Energie für einen neuen Patch

Die Energie die ein neuer Patch braucht um sich zu stabilisieren ist genau S_min,1 × ρ_krit – die Tiefe des n=1 Minimums:

$$E_\text{Patch} = S_\text{min,1} \cdot \rho_\text{krit} = 1.148 \times 0.04256 = 0.04886$$EPatch​=Smin,1​⋅ρkrit​=1.148×0.04256=0.04886

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Schritt 4 – Reproduzierbarkeitsbedingung

Ein Patch kann sich reproduzieren wenn seine Gradientenenergie mindestens einen neuen Patch seeden kann:

$$E_\text{grad}(\rho_\text{repro}) = E_\text{Patch}$$Egrad​(ρrepro​)=EPatch​ $$A_0^2 \cdot \lambda \cdot \left(\frac{\rho_\text{repro}}{\rho_\text{krit}}\right)^{5/2} = S_\text{min,1} \cdot \rho_\text{krit}$$A02​⋅λ⋅(ρkrit​ρrepro​​)5/2=Smin,1​⋅ρkrit​

Auflösen:

$$\left(\frac{\rho_\text{repro}}{\rho_\text{krit}}\right)^{5/2} = \frac{S_\text{min,1} \cdot \rho_\text{krit}}{A_0^2 \cdot \lambda}$$(ρkrit​ρrepro​​)5/2=A02​⋅λSmin,1​⋅ρkrit​​ $$\boxed{\rho_\text{repro} = \rho_\text{krit} \cdot \left(\frac{S_\text{min,1} \cdot \rho_\text{krit}}{A_0^2 \cdot \lambda}\right)^{2/5}}$$ρrepro​=ρkrit​⋅(A02​⋅λSmin,1​⋅ρkrit​​)2/5​

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Schritt 5 – Numerische Auswertung

$$\frac{S_\text{min,1} \cdot \rho_\text{krit}}{A_0^2 \cdot \lambda} = \frac{1.148 \times 0.04256}{0.4225 \times 5.4} = \frac{0.04886}{2.2815} = 0.02142$$A02​⋅λSmin,1​⋅ρkrit​​=0.4225×5.41.148×0.04256​=2.28150.04886​=0.02142 $$\rho_\text{repro} = 0.04256 \times (0.02142)^{2/5}$$ρrepro​=0.04256×(0.02142)2/5 $$(0.02142)^{2/5} = e^{0.4 \times \ln(0.02142)} = e^{0.4 \times (-3.843)} = e^{-1.537} = 0.2152$$(0.02142)2/5=e0.4×ln(0.02142)=e0.4×(−3.843)=e−1.537=0.2152 $$\boxed{\rho_\text{repro} = 0.04256 \times 0.2152 = 0.00916}$$ρrepro​=0.04256×0.2152=0.00916​

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