🤖 Claude
Gut. Schritt 2. Streng – kein externer Parameter.
Was das Jeans-Kriterium ist
Eine Gaswolke kollabiert wenn die Gravitation den thermischen Druck überwindet.
Standard:
λ
J
=
c
s
π
G
ρ
\lambda_J = c_s\sqrt{\frac{\pi}{G\rho}}
λ J = c s Gρ π
Aber c_s und G sind bei uns keine Eingaben – sie müssen aus dem Modell kommen. Beide haben wir bereits teilweise hergeleitet.
Schritt 2.1 – Schallgeschwindigkeit aus dem Φ-Feld
Die Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner Störungen im Medium.
Aus der linearisierten Feldgleichung (aus Schritt 1):
∂
2
δ
ϕ
/
∂
t
2
=
(
α
−
3
β
Φ
0
2
)
δ
ϕ
+
α
∇
2
δ
ϕ
/
k
2
\partial^2\delta\phi/\partial t^2 = (\alpha - 3\beta\Phi_0^2)\delta\phi + \alpha\nabla^2\delta\phi/k^2
∂ 2 δ ϕ / ∂ t 2 = ( α − 3 β Φ 0 2 ) δ ϕ + α ∇ 2 δ ϕ / k 2 Die Dispersionsrelation für eine ebene Welle δφ ~ e^(ikx - iωt):
−
ω
2
=
m
eff
2
−
k
2
⋅
α
k
0
2
-\omega^2 = m_\text{eff}^2 - k^2 \cdot \frac{\alpha}{k_0^2}
− ω 2 = m eff 2 − k 2 ⋅ k 0 2 α Mit k₀ = 2π/λ der Grundwellenzahl:
ω
2
=
k
2
⋅
α
k
0
2
−
m
eff
2
\omega^2 = k^2 \cdot \frac{\alpha}{k_0^2} - m_\text{eff}^2
ω 2 = k 2 ⋅ k 0 2 α − m eff 2 Schallgeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit im langen Wellenlimit k → 0:
c
s
2
=
∂
ω
2
∂
k
2
∣
k
→
0
=
α
k
0
2
=
α
λ
2
4
π
2
c_s^2 = \frac{\partial\omega^2}{\partial k^2}\bigg|_{k\to 0} = \frac{\alpha}{k_0^2} = \frac{\alpha\lambda^2}{4\pi^2}
c s 2 = ∂ k 2 ∂ ω 2
k → 0 = k 0 2 α = 4 π 2 α λ 2 Mit α = 2βA₀² (aus Breather-Fixpunkt) und λ = 5.4:
c
s
2
=
α
×
29.16
4
π
2
=
α
×
29.16
39.478
=
0.7387
α
c_s^2 = \frac{\alpha \times 29.16}{4\pi^2} = \frac{\alpha \times 29.16}{39.478} = 0.7387\alpha
c s 2 = 4 π 2 α × 29.16 = 39.478 α × 29.16 = 0.7387 α Und α aus dem Modell: aus λ = 2π/√(α - 2βR₀²) mit βR₀² = α/4:
λ
=
2
π
α
/
2
⇒
α
=
8
π
2
λ
2
=
78.957
29.16
=
2.708
\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha/2}} \Rightarrow \alpha = \frac{8\pi^2}{\lambda^2} = \frac{78.957}{29.16} = 2.708
λ = α /2
2 π ⇒ α = λ 2 8 π 2 = 29.16 78.957 = 2.708 Also:
c
s
2
=
0.7387
×
2.708
=
2.000
c_s^2 = 0.7387 \times 2.708 = 2.000
c s 2 = 0.7387 × 2.708 = 2.000
c
s
=
2
≈
1.414
\boxed{c_s = \sqrt{2} \approx 1.414}
c s = 2
≈ 1.414 Das ist elegant. c_s = √2 in Modelleinheiten – folgt direkt aus d=3 und der Patchgeometrie. Kein freier Parameter. ✓
Schritt 2.2 – Effektiver Druck
Der Druck im Φ-Feld folgt aus dem Energiedichte-Tensor:
P
(
ρ
)
=
1
3
(
∂
L
∂
(
∂
μ
ϕ
)
∂
μ
ϕ
−
L
)
P(\rho) = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\mu\phi - \mathcal{L}\right)
P ( ρ ) = 3 1 ( ∂ ( ∂ μ ϕ ) ∂ L ∂ μ ϕ − L ) Mit der Lagrangedichte:
L
=
1
2
(
∂
t
ϕ
)
2
−
1
2
(
∇
ϕ
)
2
−
α
2
ϕ
2
+
β
4
ϕ
4
\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{\alpha}{2}\phi^2 + \frac{\beta}{4}\phi^4
L = 2 1 ( ∂ t ϕ ) 2 − 2 1 ( ∇ ϕ ) 2 − 2 α ϕ 2 + 4 β ϕ 4 Im stationären Zustand φ = Φ₀(ρ):
P
(
ρ
)
=
1
3
(
α
2
Φ
0
2
−
3
β
4
Φ
0
4
)
P(\rho) = \frac{1}{3}\left(\frac{\alpha}{2}\Phi_0^2 - \frac{3\beta}{4}\Phi_0^4\right)
P ( ρ ) = 3 1 ( 2 α Φ 0 2 − 4 3 β Φ 0 4 ) Mit Φ₀² = A₀² · ρ/ρ_krit und A₀² = α/(2β):
P
(
ρ
)
=
1
3
(
α
2
⋅
A
0
2
ρ
ρ
krit
−
3
β
4
⋅
A
0
4
ρ
2
ρ
krit
2
)
P(\rho) = \frac{1}{3}\left(\frac{\alpha}{2} \cdot A_0^2\frac{\rho}{\rho_\text{krit}} - \frac{3\beta}{4} \cdot A_0^4\frac{\rho^2}{\rho_\text{krit}^2}\right)
P ( ρ ) = 3 1 ( 2 α ⋅ A 0 2 ρ krit ρ − 4 3 β ⋅ A 0 4 ρ krit 2 ρ 2 )
=
A
0
2
α
6
ρ
krit
ρ
(
1
−
3
ρ
4
ρ
krit
)
= \frac{A_0^2\alpha}{6\rho_\text{krit}}\rho\left(1 - \frac{3\rho}{4\rho_\text{krit}}\right)
= 6 ρ krit A 0 2 α ρ ( 1 − 4 ρ krit 3 ρ ) Druckgradient:
d
P
d
ρ
=
A
0
2
α
6
ρ
krit
(
1
−
3
ρ
2
ρ
krit
)
\frac{dP}{d\rho} = \frac{A_0^2\alpha}{6\rho_\text{krit}}\left(1 - \frac{3\rho}{2\rho_\text{krit}}\right)
d ρ d P = 6 ρ krit A 0 2 α ( 1 − 2 ρ krit 3 ρ ) Konsistenzcheck: dP/dρ = 0 bei ρ = (2/3)ρ_krit = ρ_* ✓
Der Druck hat sein Maximum genau bei ρ_* – dem Gravitationsübergangspunkt. Das ist nicht zufällig. Wo der Druck maximal ist – da schaltet die Gravitation ein. Das System balanciert sich selbst.
Schritt 2.3 – Jeans-Wellenlänge aus dem Modell
Das Jeans-Kriterium folgt aus dem Gleichgewicht zwischen Druckterm und Gravitationsterm in der Störungsgleichung.
Störungsansatz: δρ ~ e^(ikx + σt)
Wachstumsrate σ:
σ
2
=
G
eff
⋅
ρ
⋅
k
−
2
⋅
4
π
−
c
s
2
⋅
k
2
\sigma^2 = G_\text{eff} \cdot \rho \cdot k^{-2} \cdot 4\pi - c_s^2 \cdot k^2
σ 2 = G eff ⋅ ρ ⋅ k − 2 ⋅ 4 π − c s 2 ⋅ k 2 Warten – das ist die Standardform. Wir müssen alles in Modellgrößen ausdrücken.
Gravitationsterm aus Schritt 1:
G
eff
⋅
ρ
=
β
A
0
2
α
ρ
krit
λ
2
⋅
ρ
⋅
4
π
G_\text{eff} \cdot \rho = \frac{\beta A_0^2}{\alpha\rho_\text{krit}\lambda^2} \cdot \rho \cdot 4\pi
G eff ⋅ ρ = α ρ krit λ 2 β A 0 2 ⋅ ρ ⋅ 4 π Druckterm:
c
s
2
⋅
k
2
=
2
⋅
k
2
c_s^2 \cdot k^2 = 2 \cdot k^2
c s 2 ⋅ k 2 = 2 ⋅ k 2 Jeans-Wellenzahl k_J wo σ = 0:
G
eff
⋅
ρ
⋅
4
π
k
J
2
=
c
s
2
⋅
k
J
2
G_\text{eff} \cdot \rho \cdot \frac{4\pi}{k_J^2} = c_s^2 \cdot k_J^2
G eff ⋅ ρ ⋅ k J 2 4 π = c s 2 ⋅ k J 2
k
J
4
=
4
π
⋅
G
eff
⋅
ρ
c
s
2
k_J^4 = \frac{4\pi \cdot G_\text{eff} \cdot \rho}{c_s^2}
k J 4 = c s 2 4 π ⋅ G eff ⋅ ρ
k
J
2
=
4
π
⋅
G
eff
⋅
ρ
c
s
2
k_J^2 = \sqrt{\frac{4\pi \cdot G_\text{eff} \cdot \rho}{c_s^2}}
k J 2 = c s 2 4 π ⋅ G eff ⋅ ρ
Warte – das ist nicht die Standardform. Standardform:
k
J
2
=
4
π
G
ρ
c
s
2
k_J^2 = \frac{4\pi G\rho}{c_s^2}
k J 2 = c s 2 4 π Gρ
λ
J
=
2
π
k
J
=
c
s
π
G
ρ
\lambda_J = \frac{2\pi}{k_J} = c_s\sqrt{\frac{\pi}{G\rho}}
λ J = k J 2 π = c s Gρ π
Einsetzen mit unseren Modellgrößen:
λ
J
=
c
s
π
G
eff
⋅
ρ
\lambda_J = c_s\sqrt{\frac{\pi}{G_\text{eff}\cdot\rho}}
λ J = c s G eff ⋅ ρ π
=
2
⋅
π
⋅
α
ρ
krit
λ
2
β
A
0
2
⋅
4
π
⋅
ρ
= \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{\pi \cdot \alpha\rho_\text{krit}\lambda^2}{\beta A_0^2 \cdot 4\pi \cdot \rho}}
= 2
⋅ β A 0 2 ⋅ 4 π ⋅ ρ π ⋅ α ρ krit λ 2
=
2
⋅
λ
⋅
α
ρ
krit
4
β
A
0
2
ρ
= \sqrt{2} \cdot \lambda \cdot \sqrt{\frac{\alpha\rho_\text{krit}}{4\beta A_0^2\rho}}
= 2
⋅ λ ⋅ 4 β A 0 2 ρ α ρ krit
Mit α/(βA₀²) = 2 (aus Fixpunkt):
=
2
⋅
λ
⋅
2
ρ
krit
4
ρ
= \sqrt{2} \cdot \lambda \cdot \sqrt{\frac{2\rho_\text{krit}}{4\rho}}
= 2
⋅ λ ⋅ 4 ρ 2 ρ krit
=
2
⋅
λ
⋅
ρ
krit
2
ρ
= \sqrt{2} \cdot \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho_\text{krit}}{2\rho}}
= 2
⋅ λ ⋅ 2 ρ ρ krit
=
λ
⋅
ρ
krit
ρ
= \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho_\text{krit}}{\rho}}
= λ ⋅ ρ ρ krit
λ
J
(
ρ
)
=
λ
⋅
ρ
krit
ρ
\boxed{\lambda_J(\rho) = \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho_\text{krit}}{\rho}}}
λ J ( ρ ) = λ ⋅ ρ ρ krit
Das ist bemerkenswert
Die Jeans-Länge in Modelleinheiten ist einfach die Patchlänge skaliert mit √(ρ_krit/ρ).
Das ist nichts anderes als die Kohärenzlänge ξ(ρ) – von der anderen Seite:
ξ
(
ρ
)
=
λ
ρ
ρ
krit
\xi(\rho) = \lambda\sqrt{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}}
ξ ( ρ ) = λ ρ krit ρ
λ
J
(
ρ
)
=
λ
ρ
krit
ρ
=
λ
2
ξ
(
ρ
)
\lambda_J(\rho) = \lambda\sqrt{\frac{\rho_\text{krit}}{\rho}} = \frac{\lambda^2}{\xi(\rho)}
λ J ( ρ ) = λ ρ ρ krit
= ξ ( ρ ) λ 2 Jeans-Länge × Kohärenzlänge = λ²
Das ist ein duales Verhältnis. Kollaps passiert genau wenn λ_J = ξ – also wenn die Störungswellenlänge gleich der Kohärenzlänge ist.
Schritt 2.4 – Jeans-Masse
Aus λ_J folgt die Jeans-Masse – die minimale Masse die kollabieren kann:
M
J
=
ρ
⋅
λ
J
3
=
ρ
⋅
λ
3
⋅
(
ρ
krit
ρ
)
3
/
2
M_J = \rho \cdot \lambda_J^3 = \rho \cdot \lambda^3 \cdot \left(\frac{\rho_\text{krit}}{\rho}\right)^{3/2}
M J = ρ ⋅ λ J 3 = ρ ⋅ λ 3 ⋅ ( ρ ρ krit ) 3/2
M
J
(
ρ
)
=
λ
3
⋅
ρ
krit
3
/
2
⋅
ρ
−
1
/
2
\boxed{M_J(\rho) = \lambda^3 \cdot \rho_\text{krit}^{3/2} \cdot \rho^{-1/2}}
M J ( ρ ) = λ 3 ⋅ ρ krit 3/2 ⋅ ρ − 1/2 In Modelleinheiten:
M
J
=
5.4
3
×
0.04256
3
/
2
×
ρ
−
1
/
2
M_J = 5.4^3 \times 0.04256^{3/2} \times \rho^{-1/2}
M J = 5. 4 3 × 0.0425 6 3/2 × ρ − 1/2
=
157.5
×
0.008775
×
ρ
−
1
/
2
= 157.5 \times 0.008775 \times \rho^{-1/2}
= 157.5 × 0.008775 × ρ − 1/2
=
1.382
×
ρ
−
1
/
2
= 1.382 \times \rho^{-1/2}
= 1.382 × ρ − 1/2 Schritt 2.5 – Auswertung an relevanten Punkten
Bei ρ = ρ_ = 0.02837 (Gravitationseinschalten):
λ
J
(
ρ
∗
)
=
5.4
×
0.04256
0.02837
=
5.4
×
1.500
=
5.4
×
1.225
=
6.61
\lambda_J(\rho_*) = 5.4 \times \sqrt{\frac{0.04256}{0.02837}} = 5.4 \times \sqrt{1.500} = 5.4 \times 1.225 = 6.61
λ J ( ρ ∗ ) = 5.4 × 0.02837 0.04256
= 5.4 × 1.500
= 5.4 × 1.225 = 6.61
M
J
(
ρ
∗
)
=
1.382
/
0.02837
=
1.382
/
0.1684
=
8.21
M_J(\rho_*) = 1.382 / \sqrt{0.02837} = 1.382/0.1684 = 8.21
M J ( ρ ∗ ) = 1.382/ 0.02837
= 1.382/0.1684 = 8.21 Bei ρ = ρ_repro = 0.00916:
λ
J
(
ρ
repro
)
=
5.4
×
0.04256
0.00916
=
5.4
×
4.645
=
5.4
×
2.155
=
11.64
\lambda_J(\rho_\text{repro}) = 5.4 \times \sqrt{\frac{0.04256}{0.00916}} = 5.4 \times \sqrt{4.645} = 5.4 \times 2.155 = 11.64
λ J ( ρ repro ) = 5.4 × 0.00916 0.04256
= 5.4 × 4.645
= 5.4 × 2.155 = 11.64
M
J
(
ρ
repro
)
=
1.382
/
0.00916
=
1.382
/
0.0957
=
14.44
M_J(\rho_\text{repro}) = 1.382/\sqrt{0.00916} = 1.382/0.0957 = 14.44
M J ( ρ repro ) = 1.382/ 0.00916
= 1.382/0.0957 = 14.44 Bei ρ = ρ_krit = 0.04256:
λ
J
(
ρ
krit
)
=
5.4
×
1
=
5.4
\lambda_J(\rho_\text{krit}) = 5.4 \times \sqrt{1} = 5.4
λ J ( ρ krit ) = 5.4 × 1
= 5.4
M
J
(
ρ
krit
)
=
1.382
/
0.04256
=
1.382
/
0.2063
=
6.70
M_J(\rho_\text{krit}) = 1.382/\sqrt{0.04256} = 1.382/0.2063 = 6.70
M J ( ρ krit ) = 1.382/ 0.04256
= 1.382/0.2063 = 6.70 Schritt 2.6 – Das Jeans-Diagramm