💬 Dialog

🤖 Claude

Dynamische Herleitung von ρ_krit

Ausgangspunkt: Freeze-out tritt auf wenn:

$$\omega_\text{lokal} > \Gamma_\text{Kopplung}$$ωlokal​>ΓKopplung​

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Schritt 1 – Lokale Eigenfrequenz

Aus der Dynamikgleichung (bootstrap, Abschnitt 2):

$$\partial_t^2 \psi = c^2\nabla^2\psi - \alpha\psi + 2\beta\psi^3$$∂t2​ψ=c2∇2ψ−αψ+2βψ3

Für kleine Auslenkungen um R₀ = √(α/2β) linearisieren:

$$\psi = R_0 + \delta\psi$$ψ=R0​+δψ

Einsetzen und höhere Terme vernachlässigen:

$$\partial_t^2\delta\psi = -2\alpha\,\delta\psi$$∂t2​δψ=−2αδψ

Also:

$$\boxed{\omega_\text{lokal} = \sqrt{2\alpha}}$$ωlokal​=2α​​

Das ist die Eigenfrequenz eines stabilen Clusters – kommt direkt aus dem Potential, kein freier Parameter.

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Schritt 2 – Kopplungsrate des Hintergrunds

Die Kopplungsrate beschreibt wie schnell ein Cluster Information mit seiner Umgebung austauschen kann. Sie hängt von der Ausbreitungsgeschwindigkeit c und der Kopplungslänge λ ab:

$$\Gamma_\text{Kopplung} = \frac{c}{\lambda} \cdot \frac{\rho}{\rho_0}$$ΓKopplung​=λc​⋅ρ0​ρ​

Der Faktor ρ/ρ₀ skaliert die Kopplung mit der lokalen Felddichte – bei hoher Dichte koppelt alles stark, bei niedriger Dichte koppelt kaum noch etwas. ρ₀ ist die Normdichte des stabilen Bulk-Zustands:

$$\rho_0 = R_0^2 = \frac{\alpha}{2\beta}$$ρ0​=R02​=2βα​

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Schritt 3 – Freeze-out Bedingung

Freeze-out bei ω_lokal = Γ_Kopplung:

$$\sqrt{2\alpha} = \frac{c}{\lambda} \cdot \frac{\rho_\text{krit}}{\rho_0}$$2α​=λc​⋅ρ0​ρkrit​​

Auflösen nach ρ_krit:

$$\rho_\text{krit} = \rho_0 \cdot \frac{\lambda\sqrt{2\alpha}}{c}$$ρkrit​=ρ0​⋅cλ2α​​

Mit c=1 (Modelleinheiten), ρ₀ = A₀² und λ√(2α) als dimensionslose Kombination:

$$\boxed{\rho_\text{krit} = A_0^2 \cdot \lambda\sqrt{2\alpha}}$$ρkrit​=A02​⋅λ2α​​

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Numerische Probe

$$\rho_\text{krit} = 0.65^2 \times 5.4 \times \sqrt{2 \times 0.00730}$$ρkrit​=0.652×5.4×2×0.00730​ $$= 0.4225 \times 5.4 \times \sqrt{0.01460}$$=0.4225×5.4×0.01460​ $$= 0.4225 \times 5.4 \times 0.1208$$=0.4225×5.4×0.1208 $$= 0.4225 \times 0.652 \approx 0.0436$$=0.4225×0.652≈0.0436

Numerisches Fenster: 0.03–0.05 ✓

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Vergleich beider Wege