🤖 Claude
Gut. g(ρ) formal herleiten.
Was g(ρ) beschreibt
g(ρ) ist die Wahrscheinlichkeit dass ein Cluster mit Dichte ρ im DM-Fenster [ρ_repro, ρ_krit] zu stabiler Dunkler Materie wird – also nicht zerfällt, nicht in Φ_homogen geht, sondern als nicht-resonante aber persistente Struktur einfriert.
W
DM
=
∫
ρ
repro
ρ
krit
P
(
ρ
)
⋅
g
(
ρ
)
d
ρ
W_\text{DM} = \int_{\rho_\text{repro}}^{\rho_\text{krit}} P(\rho) \cdot g(\rho) \, d\rho
W DM = ∫ ρ repro ρ krit P ( ρ ) ⋅ g ( ρ ) d ρ Schritt 1: Was bestimmt g(ρ)?
Ein Cluster im DM-Fenster hat kein topologisches Minimum – er ist unterhalb ρ_krit. Er kann trotzdem persistent sein wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:
Bedingung A – Kohärenzlänge reicht: Der Cluster muss groß genug sein um nicht durch Φ-Fluktuationen sofort zerstört zu werden.
Kohärenzlänge:
ξ
(
ρ
)
=
λ
⋅
ρ
ρ
krit
\xi(\rho) = \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}}
ξ ( ρ ) = λ ⋅ ρ krit ρ
Für ρ < ρ_krit ist ξ < λ – der Cluster ist kleiner als ein stabiler Patch. Aber wenn ξ > ξ_min – der Mindestgröße für Persistenz:
ξ
min
=
λ
⋅
ρ
repro
ρ
krit
=
5.4
×
0.008
0.04256
=
5.4
×
0.4336
=
2.341
\xi_\text{min} = \lambda \cdot \sqrt{\frac{\rho_\text{repro}}{\rho_\text{krit}}} = 5.4 \times \sqrt{\frac{0.008}{0.04256}} = 5.4 \times 0.4336 = 2.341
ξ min = λ ⋅ ρ krit ρ repro
= 5.4 × 0.04256 0.008
= 5.4 × 0.4336 = 2.341 Bedingung A ist erfüllt wenn ξ(ρ) ≥ ξ_min – also für alle ρ ≥ ρ_repro. Innerhalb des DM-Fensters immer erfüllt.
Bedingung B – Keine resonante Absorption durch Breather:
Breather saugen kohärente Energie aus dem Zwischenbereichs-Pool. Ein DM-Cluster der bei einer Breather-Resonanzfrequenz schwingt wird absorbiert – er wird Teil eines Breathers statt DM zu bleiben.
Die Wahrscheinlichkeit nicht absorbiert zu werden:
P
nicht-abs
(
ρ
)
=
1
−
∑
n
=
1
3
Γ
n
(
ρ
)
Γ
n
(
ρ
)
+
Γ
DM
(
ρ
)
P_\text{nicht-abs}(\rho) = 1 - \sum_{n=1}^{3} \frac{\Gamma_n(\rho)}{\Gamma_n(\rho) + \Gamma_\text{DM}(\rho)}
P nicht-abs ( ρ ) = 1 − n = 1 ∑ 3 Γ n ( ρ ) + Γ DM ( ρ ) Γ n ( ρ ) Wobei Γ_n die Absorptionsrate durch n-Breather und Γ_DM die Einfrierrate zu DM.
Schritt 2: Absorptionsraten
Γ_n(ρ) – Absorption durch n-Breather:
Die Kopplung zwischen DM-Cluster und n-Breather ist proportional zur spektralen Überlappung:
Γ
n
(
ρ
)
=
∣
M
n
∣
2
⋅
S
(
ω
n
)
⋅
δ
(
ω
(
ρ
)
−
ω
n
)
\Gamma_n(\rho) = |M_n|^2 \cdot S(\omega_n) \cdot \delta(\omega(\rho) - \omega_n)
Γ n ( ρ ) = ∣ M n ∣ 2 ⋅ S ( ω n ) ⋅ δ ( ω ( ρ ) − ω n ) Da ω(ρ) = ω₀ · √(ρ/ρ_krit) und ω_n diskret – die Delta-Funktion ist verschmiert durch die natürliche Breite γ_n:
Γ
n
(
ρ
)
=
∣
M
n
∣
2
⋅
S
(
ω
n
)
⋅
γ
n
/
2
π
(
ω
(
ρ
)
−
ω
n
)
2
+
(
γ
n
/
2
)
2
\Gamma_n(\rho) = |M_n|^2 \cdot S(\omega_n) \cdot \frac{\gamma_n/2\pi}{(\omega(\rho)-\omega_n)^2 + (\gamma_n/2)^2}
Γ n ( ρ ) = ∣ M n ∣ 2 ⋅ S ( ω n ) ⋅ ( ω ( ρ ) − ω n ) 2 + ( γ n /2 ) 2 γ n /2 π Das ist eine Lorentz-Kurve um ρ_n wo ω(ρ_n) = ω_n:
ρ
n
res
=
ρ
krit
⋅
(
ω
n
ω
0
)
2
\rho_n^\text{res} = \rho_\text{krit} \cdot \left(\frac{\omega_n}{\omega_0}\right)^2
ρ n res = ρ krit ⋅ ( ω 0 ω n ) 2 n=1: ρ_res,1 = 0.04256 × (0.80/0.80)² = 0.04256
n=2: ρ_res,2 = 0.04256 × (0.65/0.80)² = 0.04256 × 0.6602 = 0.02810
n=3: ρ_res,3 = 0.04256 × (0.48/0.80)² = 0.04256 × 0.3600 = 0.01532
Alle drei liegen im DM-Fenster [0.008, 0.04256]. Das bedeutet: Breather-Resonanzen durchlöchern das DM-Fenster an drei Stellen.
Γ_DM(ρ) – Einfrierrate zu DM:
Proportional zur lokalen Stabilitätsdichte – wie schnell ein Cluster bei Dichte ρ einfriert ohne absorbiert zu werden:
Γ
DM
(
ρ
)
=
γ
0
⋅
ρ
ρ
krit
⋅
(
1
−
ρ
ρ
krit
)
\Gamma_\text{DM}(\rho) = \gamma_0 \cdot \frac{\rho}{\rho_\text{krit}} \cdot \left(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\right)
Γ DM ( ρ ) = γ 0 ⋅ ρ krit ρ ⋅ ( 1 − ρ krit ρ ) Maximum bei ρ = ρ_krit/2 = 0.02128. Null an den Rändern.
Schritt 3: g(ρ) explizit
g
(
ρ
)
=
Γ
DM
(
ρ
)
Γ
DM
(
ρ
)
+
∑
n
Γ
n
(
ρ
)
g(\rho) = \frac{\Gamma_\text{DM}(\rho)}{\Gamma_\text{DM}(\rho) + \sum_n \Gamma_n(\rho)}
g ( ρ ) = Γ DM ( ρ ) + ∑ n Γ n ( ρ ) Γ DM ( ρ )
=
ρ
ρ
krit
(
1
−
ρ
ρ
krit
)
ρ
ρ
krit
(
1
−
ρ
ρ
krit
)
+
∑
n
=
1
3
A
n
γ
n
(
ω
(
ρ
)
−
ω
n
)
2
+
(
γ
n
/
2
)
2
= \frac{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\left(1-\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\right)}{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\left(1-\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}\right) + \sum_{n=1}^{3} \frac{A_n \gamma_n}{(\omega(\rho)-\omega_n)^2+(\gamma_n/2)^2}}
= ρ krit ρ ( 1 − ρ krit ρ ) + ∑ n = 1 3 ( ω ( ρ ) − ω n ) 2 + ( γ n /2 ) 2 A n γ n ρ krit ρ ( 1 − ρ krit ρ ) Mit:
A
n
=
∣
M
n
∣
2
⋅
S
(
ω
n
)
2
π
=
1
n
2
⋅
ω
0
ω
n
⋅
e
−
ω
0
/
ω
n
⋅
1
2
π
A_n = \frac{|M_n|^2 \cdot S(\omega_n)}{2\pi} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{\omega_0}{\omega_n} \cdot e^{-\omega_0/\omega_n} \cdot \frac{1}{2\pi}
A n = 2 π ∣ M n ∣ 2 ⋅ S ( ω n ) = n 2 1 ⋅ ω n ω 0 ⋅ e − ω 0 / ω n ⋅ 2 π 1 Numerisch:
A
1
=
1
×
0.8
0.8
×
e
−
1
/
(
2
π
)
=
0.3679
/
6.283
=
0.05857
A_1 = 1 \times \frac{0.8}{0.8} \times e^{-1} / (2\pi) = 0.3679/6.283 = 0.05857
A 1 = 1 × 0.8 0.8 × e − 1 / ( 2 π ) = 0.3679/6.283 = 0.05857
A
2
=
1
4
×
0.8
0.65
×
e
−
0.8
/
0.65
/
(
2
π
)
=
0.25
×
1.231
×
e
−
1.231
/
6.283
A_2 = \frac{1}{4} \times \frac{0.8}{0.65} \times e^{-0.8/0.65} / (2\pi) = 0.25 \times 1.231 \times e^{-1.231}/6.283
A 2 = 4 1 × 0.65 0.8 × e − 0.8/0.65 / ( 2 π ) = 0.25 × 1.231 × e − 1.231 /6.283
=
0.25
×
1.231
×
0.2923
/
6.283
=
0.01432
= 0.25 \times 1.231 \times 0.2923/6.283 = 0.01432
= 0.25 × 1.231 × 0.2923/6.283 = 0.01432
A
3
=
1
9
×
0.8
0.48
×
e
−
0.8
/
0.48
/
(
2
π
)
=
1
9
×
1.667
×
e
−
1.667
/
6.283
A_3 = \frac{1}{9} \times \frac{0.8}{0.48} \times e^{-0.8/0.48} / (2\pi) = \frac{1}{9} \times 1.667 \times e^{-1.667}/6.283
A 3 = 9 1 × 0.48 0.8 × e − 0.8/0.48 / ( 2 π ) = 9 1 × 1.667 × e − 1.667 /6.283
=
1
9
×
1.667
×
0.1889
/
6.283
=
0.005571
= \frac{1}{9} \times 1.667 \times 0.1889/6.283 = 0.005571
= 9 1 × 1.667 × 0.1889/6.283 = 0.005571 Breite γ_n – natürliche Breite des n-Breathers aus Dämpfung γ = 0.035:
γ
n
=
n
⋅
γ
=
n
×
0.035
\gamma_n = n \cdot \gamma = n \times 0.035
γ n = n ⋅ γ = n × 0.035 γ₁ = 0.035, γ₂ = 0.070, γ₃ = 0.105
ω(ρ):
ω
(
ρ
)
=
ω
0
⋅
ρ
ρ
krit
=
0.8
×
ρ
0.04256
\omega(\rho) = \omega_0 \cdot \sqrt{\frac{\rho}{\rho_\text{krit}}} = 0.8 \times \sqrt{\frac{\rho}{0.04256}}
ω ( ρ ) = ω 0 ⋅ ρ krit ρ
= 0.8 × 0.04256 ρ
Schritt 4: g(ρ) numerisch auswerten
Werte an 7 Stützpunkten im DM-Fenster:
Bei ρ = 0.008 (ρ_repro):
ω
(
0.008
)
=
0.8
0.008
/
0.04256
=
0.8
×
0.4336
=
0.3469
\omega(0.008) = 0.8\sqrt{0.008/0.04256} = 0.8 \times 0.4336 = 0.3469
ω ( 0.008 ) = 0.8 0.008/0.04256
= 0.8 × 0.4336 = 0.3469 Lorentz-Terme:
n=1: (0.3469-0.80)² + 0.0175² = 0.2049 + 0.000306 ≈ 0.2052; A₁γ₁/L₁ = 0.05857×0.035/0.2052 = 0.009993
n=2: (0.3469-0.65)² + 0.035² = 0.09170 + 0.00123 ≈ 0.09293; 0.01432×0.070/0.09293 = 0.01079
n=3: (0.3469-0.48)² + 0.0525² = 0.01716 + 0.002756 ≈ 0.01992; 0.005571×0.105/0.01992 = 0.02934
Σ Γ_n = 0.009993 + 0.01079 + 0.02934 = 0.05012
Γ_DM = (0.008/0.04256)(1-0.008/0.04256) = 0.1880 × 0.8120 = 0.1527
g
(
0.008
)
=
0.1527
0.1527
+
0.05012
=
0.1527
0.2028
=
0.753
g(0.008) = \frac{0.1527}{0.1527+0.05012} = \frac{0.1527}{0.2028} = 0.753
g ( 0.008 ) = 0.1527 + 0.05012 0.1527 = 0.2028 0.1527 = 0.753 Bei ρ = 0.015:
ω
(
0.015
)
=
0.8
0.015
/
0.04256
=
0.8
×
0.5937
=
0.4750
\omega(0.015) = 0.8\sqrt{0.015/0.04256} = 0.8 \times 0.5937 = 0.4750
ω ( 0.015 ) = 0.8 0.015/0.04256
= 0.8 × 0.5937 = 0.4750 Lorentz-Terme:
n=1: (0.475-0.80)² + 0.0175² = 0.10563 + 0.000306 = 0.10593; 0.05857×0.035/0.10593 = 0.01935
n=2: (0.475-0.65)² + 0.035² = 0.03063 + 0.001225 = 0.03185; 0.01432×0.070/0.03185 = 0.03146
n=3: (0.475-0.48)² + 0.0525² = 0.000025 + 0.002756 = 0.002781; 0.005571×0.105/0.002781 = 0.2104
Σ Γ_n = 0.01935 + 0.03146 + 0.2104 = 0.2612
Γ_DM = (0.015/0.04256)(1-0.015/0.04256) = 0.3524 × 0.6476 = 0.2283
g
(
0.015
)
=
0.2283
0.2283
+
0.2612
=
0.2283
0.4895
=
0.466
g(0.015) = \frac{0.2283}{0.2283+0.2612} = \frac{0.2283}{0.4895} = 0.466
g ( 0.015 ) = 0.2283 + 0.2612 0.2283 = 0.4895 0.2283 = 0.466 Bei ρ = 0.01532 (Resonanz n=3):
ω
(
0.01532
)
=
0.8
0.01532
/
0.04256
=
0.8
×
0.6001
=
0.4801
≈
ω
3
\omega(0.01532) = 0.8\sqrt{0.01532/0.04256} = 0.8 \times 0.6001 = 0.4801 \approx \omega_3
ω ( 0.01532 ) = 0.8 0.01532/0.04256
= 0.8 × 0.6001 = 0.4801 ≈ ω 3 Lorentz n=3 maximal:
(0.4801-0.48)² + 0.0525² ≈ 0.002756; 0.005571×0.105/0.002756 = 0.2123
Das ist das n=3 Resonanzloch in g(ρ). Minimum von g bei ρ_res,3.
Bei ρ = 0.020:
ω
(
0.020
)
=
0.8
0.020
/
0.04256
=
0.8
×
0.6856
=
0.5485
\omega(0.020) = 0.8\sqrt{0.020/0.04256} = 0.8 \times 0.6856 = 0.5485
ω ( 0.020 ) = 0.8 0.020/0.04256
= 0.8 × 0.6856 = 0.5485 Lorentz-Terme:
n=1: (0.5485-0.80)² + 0.0175² = 0.06320 + 0.000306 = 0.06351; 0.05857×0.035/0.06351 = 0.03227
n=2: (0.5485-0.65)² + 0.035² = 0.01030 + 0.001225 = 0.01153; 0.01432×0.070/0.01153 = 0.08696
n=3: (0.5485-0.48)² + 0.0525² = 0.004692 + 0.002756 = 0.007448; 0.005571×0.105/0.007448 = 0.07851
Σ Γ_n = 0.03227 + 0.08696 + 0.07851 = 0.1977
Γ_DM = (0.020/0.04256)(1-0.020/0.04256) = 0.4699 × 0.5301 = 0.2491
g
(
0.020
)
=
0.2491
0.2491
+
0.1977
=
0.2491
0.4468
=
0.557
g(0.020) = \frac{0.2491}{0.2491+0.1977} = \frac{0.2491}{0.4468} = 0.557
g ( 0.020 ) = 0.2491 + 0.1977 0.2491 = 0.4468 0.2491 = 0.557 Bei ρ = 0.02810 (Resonanz n=2):
ω
(
0.02810
)
=
0.8
0.02810
/
0.04256
=
0.8
×
0.8125
=
0.6500
=
ω
2
\omega(0.02810) = 0.8\sqrt{0.02810/0.04256} = 0.8 \times 0.8125 = 0.6500 = \omega_2
ω ( 0.02810 ) = 0.8 0.02810/0.04256
= 0.8 × 0.8125 = 0.6500 = ω 2 Lorentz n=2 maximal:
(0.650-0.65)² + 0.035² = 0.001225; 0.01432×0.070/0.001225 = 0.8183
Das ist das n=2 Resonanzloch – tief.
Γ_DM = (0.02810/0.04256)(1-0.02810/0.04256) = 0.6603 × 0.3397 = 0.2243
Σ Γ_n ≈ 0.8183 + kleinere Terme ≈ 0.860
g
(
0.02810
)
=
0.2243
0.2243
+
0.860
=
0.2243
1.084
=
0.207
g(0.02810) = \frac{0.2243}{0.2243+0.860} = \frac{0.2243}{1.084} = 0.207
g ( 0.02810 ) = 0.2243 + 0.860 0.2243 = 1.084 0.2243 = 0.207 Bei ρ = 0.035:
ω
(
0.035
)
=
0.8
0.035
/
0.04256
=
0.8
×
0.9072
=
0.7258
\omega(0.035) = 0.8\sqrt{0.035/0.04256} = 0.8 \times 0.9072 = 0.7258
ω ( 0.035 ) = 0.8 0.035/0.04256
= 0.8 × 0.9072 = 0.7258 Lorentz-Terme:
n=1: (0.7258-0.80)² + 0.0175² = 0.005499 + 0.000306 = 0.005805; 0.05857×0.035/0.005805 = 0.3530
n=2: (0.7258-0.65)² + 0.035² = 0.005745 + 0.001225 = 0.006970; 0.01432×0.070/0.006970 = 0.1439
n=3: (0.7258-0.48)² + 0.0525² = 0.06034 + 0.002756 = 0.06310; 0.005571×0.105/0.06310 = 0.009266
Σ Γ_n = 0.3530 + 0.1439 + 0.009266 = 0.506
Γ_DM = (0.035/0.04256)(1-0.035/0.04256) = 0.8224 × 0.1776 = 0.1461
g
(
0.035
)
=
0.1461
0.1461
+
0.506
=
0.1461
0.652
=
0.224
g(0.035) = \frac{0.1461}{0.1461+0.506} = \frac{0.1461}{0.652} = 0.224
g ( 0.035 ) = 0.1461 + 0.506 0.1461 = 0.652 0.1461 = 0.224 Bei ρ = 0.04256 (ρ_krit, Resonanz n=1):
ω
(
0.04256
)
=
0.80
=
ω
1
\omega(0.04256) = 0.80 = \omega_1
ω ( 0.04256 ) = 0.80 = ω 1 Lorentz n=1 maximal:
(0.80-0.80)² + 0.0175² = 0.000306; 0.05857×0.035/0.000306 = 6.696
Γ_DM = (1)(0) = 0
g
(
0.04256
)
=
0
0
+
6.696
+
.
.
.
=
0.000
g(0.04256) = \frac{0}{0+6.696+...} = 0.000
g ( 0.04256 ) = 0 + 6.696 + ... 0 = 0.000 Schritt 5: g(ρ) – vollständige Wertetabelle
ρ
g(ρ)
Notiz
0.008
0.753
ρ_repro – hoch
0.015
0.466
zwischen Resonanzen
0.01532
~0.45
n=3 Resonanzloch
0.020
0.557
lokales Maximum
0.02810
0.207
n=2 Resonanzloch
0.035
0.224
zwischen n=2 und n=1
0.04256
0.000
ρ_krit – n=1 Resonanz